3. Isómeros y la fórmula CnH2n+2 | 📘 Alcanos | Joseleg

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Como profesores de química Orgánica se nos llena la boca diciendo que la fórmula C_nH_2n+2 sirve para calcular la fórmula molecular de cualquier alcano. Y que por medio de otra fórmula algebraica que nunca se da, es posible también calcular el número de isómeros para cada número de carbonos en un alcano (y por consecuencia se puede hacer lo mismo para cualquier molécula orgánica de la cual conozcamos su fórmula molecular).

Si alguien quiere avergonzar a su profesor de química, puede hacerle esta pregunta. Es poco probable que el profesor pueda ofrecer una respuesta satisfactoria. En el mejor de los casos (típico para los químicos), proporcionará una serie de ejemplos triviales, cada uno de ellos compatible con la fórmula C_nH_2n+2 (Gutman, 2008; Gutman & Popović, 1998). La razón por la cual un profesor de química Orgánica no puede responder esta pregunta, es porque la deducción analítica de este problema involucra un nivel de álgebra mucho más avanzado del que manejan la mayoría de los profesionales, pues estamos hablando de álgebra topológica del siglo XX.Sin embargo, un estudiante perspicaz se preguntará cómo sabemos que la fórmula general de los alcanos C_nH_2n+2 es correcta y como a partir de esta se calcula el número de isómeros. ¿No sería posible que algunos de los trillones de alcanos posibles poseyeran más de 2n+2 o menos de 2n+2 átomos de hidrógeno? Como diría un matemático puro, sólo se necesita un contra ejemplo del infinito conjunto de isómeros de los alcanos para invalidar la fórmula.

Ahora, el problema con los alcanos es que para un valor dado de n-carbonos existen muchos isómeros, varios arreglos de n átomos de carbono y 2n + 2 de hidrógeno. Para n = 1, n = 2 y n = 3, estos arreglos son únicos. Sin embargo, para n = 4 ya existen dos isómeros distintos, y para n = 5 tres isómeros (Gutman, 2008; Gutman & Popović, 1998).

Para n mayor que 5, el número de alcanos isoméricos aumenta rápidamente, como se ve en los estudiantes que tienen curiosidad, pueden intentar verificar los números anteriores para n = 6 y, tal vez, n = 7 y n = 8, pero luego deben detenerse. Contar el número de alcanos isoméricos es un problema matemático muy difícil, que requiere el uso de técnicas combinatorias avanzadas, que incluso los estudiantes universitarios no dominan, y que por lo tanto no describiremos en esta sección (Gutman, 2008; Gutman & Popović, 1998).

Figura 3‑1. William Kingdon Clifford (4 de mayo de 1845 - 3 de marzo de 1879) fue un matemático y filósofo inglés. Junto con Hermann Grassmann es el fundador de lo que ahora se conoce como álgebra geométrica, siendo un caso especial las álgebras de Clifford, denominadas así en su honor, y que son usadas contemporáneamente en la física matemática. Fue el primero en proponer que la gravitación es la manifestación de una geometría subyacente. Es conocido por su defensa del evidencialismo frente a la responsabilidad moral de creer en aquello de lo que no se tienen pruebas.

La prueba de la validez general de la fórmula C_nH_2n+2 fue comunicada por primera vez en 1875 por el matemático británico William Clifford. De hecho, Clifford obtuvo resultados mucho más generales, de los cuales la fórmula del alcano es solo un caso especial simple. Las principales contribuciones de Clifford a las matemáticas se encuentran en el área de la geometría y el álgebra. Fue un pionero en el estudio de la geometría no euclidiana. Su nombre es recordado en espacios de Clifford-Klein, álgebras de Clifford, números de Clifford, etc. El gran matemático británico Arthur Cayley fue el primero en reconocer la relación entre las fórmulas estructurales en química orgánica y la teoría de grafos “estructuras topológicas en forma de árbol en las cuales tenemos varios puntos vinculados por enlaces, las matemáticas derivadas de los grafos se pueden aplicar a aspectos tan dispares como las redes sociales o la química orgánica” (Gutman, 2008; Gutman & Popović, 1998).

Figura 3‑2. Arthur Cayley (Richmond, Reino Unido, 16 de agosto de 1821 - Cambridge, 26 de enero de 1895) fue un matemático británico. Es uno de los fundadores de la escuela británica moderna de matemáticas puras. En combinatoria, su nombre está unido a la fórmula n^n-2 que cuenta los posibles árboles generadores con nodos etiquetados de orden n. Se llama a veces octavas de Cayley o números de Cayley a los octoniones.

Es el tercer matemático más prolífico de la historia, sobrepasado tan solo por Euler y Cauchy, con aportaciones a amplias áreas de la matemática. En 1889, Cambridge University Press le pidió que preparara sus artículos matemáticos en forma de colección. Siete volúmenes aparecieron con Cayley como editor, pero tras su fallecimiento, el resto de artículos fue editado por Andrew Forsyth, su sucesor en la cátedra de Cambridge. En total los "Collected Mathematical Papers" comprenden trece grandes volúmenes que contienen 967 artículos.

Cayley es uno de los matemáticos más prolíficos de todos los tiempos. Sus principales contribuciones se encuentran en el campo de la teoría de matrices, el álgebra lineal y la teoría de grupos. También es uno de los pioneros de la teoría de grafos. Por cierto, Cayley propuso el nombre de "árbol" a los gráfos. En 1874, Cayley publicó un artículo titulado "Sobre la teoría matemática de los isómeros" (Cayley, 1874), que representa la primera aplicación química seria de la teoría de grafos. En este artículo introdujo el concepto de grafo molecular, que es básicamente lo que denominamos en química Orgánica como la fórmula estructural. La intención de Cayley era resolver el problema de los isómeros de los alcanos, es decir, encontrar un método mediante el cual pudiera determinarse el número de distintos isómeros de fórmula C_nH_2n+2. Él, sin embargo, no tuvo éxito (Gutman, 2008; Gutman & Popović, 1998).

Figura 3‑3. George Pólya (en húngaro: Pólya György; Budapest, 13 de diciembre de 1887 – Palo Alto, 7 de septiembre de 1985) fue un matemático húngaro.​ Fue profesor de matemáticas de 1914 a 1940 en el Politécnico de Zúrich y de 1940 a 1953 en la Universidad de Stanford. Realizó contribuciones fundamentales en combinatoria, teoría de números, análisis numérico y teoría de la probabilidad. También destacó por su trabajo en heurística y educación matemática.​ Ha sido descrito como uno de Los Marcianos,3 nombre con el que se conocía al grupo de peculiares científicos húngaros radicados en Estados Unidos en la época de la Segunda Guerra Mundial.

En los siguientes 50 años, la enumeración de isómeros de alcanos siguió siendo un problema abierto. Numerosos químicos y matemáticos intentaron resolverlo, pero sin éxito. Finalmente, en 1932, dos químicos estadounidenses, Henry Henze y Richard Blair, encontraron un procedimiento recursivo mediante el cual se podían calcular los números de isómeros. La solución general del problema de enumeración fue obtenida en 1935 por el matemático húngaro George Polya. Mediante el método descubierto por Polya (que hoy en día se denomina teoría de Polya y representa uno de los pilares de la combinatoria moderna) es posible contar el número de objetos arbitrarios, siempre que se defina su simetría (Gutman, 2008; Gutman & Popović, 1998).

Volviendo a los alcanos, vale la pena señalar que en 1932 no había computadoras, por lo que Henze y Blair tuvieron que hacer sus cálculos a mano. En cierto punto, cometieron un error numérico y, por lo tanto, para valores más grandes de n, sus valores de número de isómeros era incorrecto. Los valores correctos se obtuvieron solo en la década de 1980, cuando se repitió el procedimiento de Henze-Blair utilizando una (super) computadora. Esto significa que llevó un poco más de un siglo enumerar los isómeros de los alcanos (Gutman, 2008; Gutman & Popović, 1998).

A los lectores de este artículo les agradará saber que el número de posibles isómeros de C₅₀H₁₀₂ es NI(50) = 1 117 743 651 746 953 270; y de C₈₀H₁₆₂, NI(80) = 10 564 476 906 946 675 106 953 415 600 016 (Gutman, 2008; Gutman & Popović, 1998).